Ю.В. Никонов «МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОЗАВИСИМОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ СЕТЕЙ ГОЛОВНОГО МОЗГА В КОНТЕКСТЕ МЕЖПОЛУШАРНОЙ АСИММЕТРИИ» (С. 14-22)

Ю.В. Никонов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОЗАВИСИМОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ СЕТЕЙ ГОЛОВНОГО МОЗГА В КОНТЕКСТЕ МЕЖПОЛУШАРНОЙ АСИММЕТРИИ

ФГБУЗ МСЧ №59 ФМБА России, г. Заречный, Россия

Federal State Institution of Public Health Budget Medicosanitary part No 59 Federal Medical-Biological Agency of Russia

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОЗАВИСИМОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ СЕТЕЙ ГОЛОВНОГО МОЗГА В КОНТЕКСТЕ МЕЖПОЛУШАРНОЙ АСИММЕТРИИ
Ю.В. Никонов
В статье сделана попытка моделирования взаимоотношений полушарий головного мозга на основе применения геометрических свойств «однослойных», двухслойных и многослойных сетей с четным количеством слоев. Предполагается, что нейронные сети полушарий мозга обладают скрытой гиперболической геометрией, свойством «геометрической корреляции». Они «вложены» в соответствующее неевклидово «индивидуальное», «ментальное пространство» мозга, изменение геометрии которого влияет на состояние нейронных сетей. В частности, согласно модели, полушария головного мозга могут взаимодействовать по механизму «взаимной жадной маршрутизации».
Ключевые слова: многослойные сети, гиперболическое скрытое пространство,  взаимная жадная маршрутизация  
 
MODELING INTERDEPENDENCE MULTILAYER NETWORKS BRAIN IN THE CONTEXT HEMISPHERIC ASYMMETRY
Yu. V. Nikonov
The paper attempts to modeling the relationship of brain hemispheres through the use of the geometric properties of the «single-layer», double-layer and multi-layer networks with an even number of layers. It is assumed that the neural networks of hemispheres of a brain possess the hidden hyperbolic geometry, property of «geometrical correlation». They «embedded» in corresponding non-Euclidean «individual», «mental space» of a brain which change of geometry influences a condition of neural networks. In particular, according to the model, the cerebral hemispheres can communicate through the mechanism of «mutual greedy routing». Keywords: multi-layer network, a hidden hyperbolic space, mutual greedy routing.  
 
DOI: http://dx.doi.org/10.18454/ASY.2016.35.2515

 

Введение. В данной статье делается попытка моделирования межполушарной асимметрии мозга в контексте «скрытой геометрии» (Krioukovetal. 2010) двухслойных и многослойных сетей с четным количеством слоев (один из которых может соответствовать левому полушарию, а второй – правому), вложенных в гиперболическое метрическое пространство (Boccalettietal., 2014; Simas, 2015). В ряде работ показано, что каждая сложная сеть может быть «вложена» в гиперболическое пространство (или гиперболическое пространство время) (Krioukov et al., 2010; Bianconi, 2015), где координаты узлов сети определяются их «популярностью» и «сходством» (Papadopoulosetal., 2012). Координаты узлов, а значит и расстояния между узлами в скрытых гиперболических пространствах составных сетей сильно коррелируют. То есть, если мы знаем вероятности связей между узлами сети в одном контексте, (например, структурные связи между областями разных полушарий головного мозга, что можно представить как двухслойную сеть), то мы сможем предсказать вероятности связи между узлами и в каком-то другом контексте, (например, вероятности функциональных соединений между теми же областях мозга двух полушарий) (Kleineberg et al., 2016). Показано (Gómez-Gardeñes etal., 2015), что в конкурирующих двухслойных сетях происходит переход от локализации (использование предпочтительного слоя) к делокализации (совместному использованию обоих слоев), что также может быть применено к взаимодействию нейросетей двух полушарий мозга. В частности, анализируется применимость к моделированию функционирования нейронных сетей мозга обнаруженных недавно эффектов многослойных сетей: наличие гиперболической геометрии сетей с постоянной кривизной, возможность прогнозирования ссылок между слоями на основе подобия их геометрических свойств, «взаимная жадная маршрутизация» (ВЖМ) («mutual greedy routing»). Важно, что узлы в двухслойных многослойных сетях должны иметь свойства «геометрической корреляции» (Kleineberg et al., 2016).

Последние несколько лет сложные сети (технические, когнитивные,  биологические), в том числе нейронные сети головного мозга все чаще рассматривают как многослойные (в частности, как сети сетей и сети сетей-сетей). Каждая такая сеть объединяет нейронные ансамбли из разных отделов мозга и возникает для реализации определенных функций: когнитивных, поведенческих и т. д. (Chialvo, 2008). Причем, каждый слой может обладать свойствами «тесного мира» («smallworlds»), и, реже, безмасштабными («scale-free») свойствами (Albertetal., 2014; Boccalettietal., 2014).

Последнее время публикуются работы, напоминающие, что даже выполнение целей HumanConnectomeProject – моделирование структурного и функционального коннектома человека на клеточном уровне на основе использования искусственных нейронных сетей и существующих в настоящее время «цифровых» компьютеров не приведет к воссозданию человеческого сознания. Разными путями эту позицию защищают М. Николелис  (релятивисткая теория мозга – РТМ) (Cicureletal., 2015) и К.В. Анохин (гиперсетевая теория мозга – ГСТМ) (Анохин, 2014; Анохин, 2015).

М. Николелис считает (Cicureletal., 2015), что при изучении человеческого мозга можно получить два различных типа информации: полученной путем измерений, извне,  подобную которой можно получить от любой другой физической системы (информация типа I или информация Шеннона-Тьюринга – цифровой компонент РТМ), и информацию, которую можно получить  «изнутри», путем опроса владельца конкретного мозга (тип II или информация Геделя – аналоговый компонент). Информация типа I – с жестким синтаксисом, представлена числами, битами и байтами. Основным способом выражения информации типа II, порождаемой интегрированной системой мозга, являются собственные мысли и чувства. В целом, взаимодействие цифрового (нейронные импульсы) и аналогового компонентов (электромагнитные поля мозга) определяет работу интегрированной вычислительной системы мозга. Соответственно, нейронные электромагнитные поля представляют реальную основу большинства высших мозговых функций, в том числе таких, как способности испытывать болевые ощущения, чувство «я» и сознание. В рамках этой теории некоторые виды психических переживаний, в том числе патологические (сны, иллюзии, галлюцинации и т. п.), по мнению автора, можно представить как искривления неевклидова «ментального пространства»  («mental space»).

К.В. Анохин (Анохин, 2014; Анохин, 2015) развивает концепцию существования «скрытой от нашего непосредственного восприятия когнитивной реальности» – «гиперсетей» взаимозависимых когнитома и коннектома. Предполагается существование «когнитивного времени», отличного от физического часового времени. Когнитом, по К.В. Анохину – полная система субъективного опыта, сформированная у организма в процессе эволюции, развития и познания. Формализм гиперсетей обобщает сети и гиперграфы, давая аппарат, необходимый для отображения феноменов эмерджентности, иерархичности сложных сетей. Делается попытка дополнить эти теории учетом межполушарной асимметрии (Никонов, 2014;Никонов, 2015).

Напомним, что Т.А. Доброхотова и невролог Н.Н. Брагина, еще в семидесятых годах прошлого века пытались ответить на вопрос: в каких соотношениях между собой находятся пространство и время внешнего мира, пространство и время, в которых функционирует целостный мозг, и, наконец, пространство и время, в которых реализуются психические процессы в случаях леволатеральных, праволатеральных или билатеральных вариантах мозговой организации. Ими допускалась, что мозг человека «создает» «индивидуальное» пространство и время, в которых и осуществляются психические процессы. В рамках этой гипотезы функциональный вклад правого и левого полушарий в формирование психики человека различен потому, что полушария имеют различные пространственно-временные свойства (Доброхотова и соавт., 1977; Брагина и соавт., 1988). Важно, что динамическая функциональная межполушарная асимметрия отражает функциональные состояния мозга (Фокин, 2007).

Цели и задачи работы. Применение для моделирования взаимоотношений полушарий головного мозгаматериалов по скрытым геометрическим свойствам «однослойных», двухслойных и многослойных сетей с четным количеством слоев, гиперболическим свойствам многослойных сетей, взаимной жадной маршрутизации в многослойных сетях. Есть основания предполагать, что скрытое гиперболическое пространство, в которое «вложены» многослойные нейронные сети головного мозга, может являться моделью «пространства и времени, в которых функционирует целостный мозг» и «индивидуальное» пространство – время Т.А. Доброхотовой и Н.Н. Брагиной; «скрытая от нашего непосредственного восприятия когнитивная реальность» К.В. Анохина и «ментальное пространство» М. Николелиса.

Материалы и методы. Для достижения целей работы проведен анализ и интерпретация литературных данных междисциплинарных исследований по моделированию сложных многослойных сетей, в том числе нейронных сетей полушарий головного мозга (Bianconi, 2015). В частности, использованы материалы по геометрическим свойствам реальных и «смоделированных» «однослойных», двухслойных и многослойных сетей с четным количеством слоев (Papadopoulos et al., 2012; Boccaletti et al., 2014; Kleineberg et al., 2016).

Результаты и их обсуждение. В процессе изучения геометрических свойств сложных сетей, по мнению Дж. Бьянкони, появились следующие четыре основные направления: гиперболические свойства сетей, порождение геометрии развивающимися сетями, изучение геометрии реального мозга, топология сложных сетей. Интересно, что разрабатываются разные модели гиперболичности сложных сетей. Так, одна из моделей использует способ измерения кривизны сетей по М. Громову, другие – способ «вложения» сети в гиперболические пространства (Bianconi, 2015).

Помимо сетей нейронов головного мозга, как многослойные сети можно рассматривать все клетки организма: клетки, в свою очередь, состоят из разных сетей, взаимодействующих между собой: из сетей РНК, м-РНК, сетей метаболитов, ген-регуляторных сетей (Papadopoulos et al., 2012; Bianconi, 2015). Установлено, что иерархической структуре сложных сетей соответствует геометрия гиперболических пространств, имеющая скрытую метрику и топологию. Моделирование совокупности нейронов головного мозга в виде сложных сетей открывает возможность для использования формализма теории графов. В рамках сетевой парадигмы свойства сложных сетей находят в основе самых разных явлений и процессов. Так, установлено (Papadopoulos et al. 2012; Krioukov et al., 2012), что сложные сети можно рассматривать как находящиеся в скрытом метрическом пространстве. Каждый узел сложной сети может иметь скрытые переменные. Расстояние между двумя узлами в этом математическом пространстве определяется вероятностью их связи (учитывая временную природу нейронных сетей возможно измерение этого расстояния и в интервалах времени). Существенно, что нейронные сети головного мозга – динамические, изменяющиеся во времени сложные сети (Krioukov et al., 2012), причем, «узлам» модели могут соответствовать как единичные нейроны, так и их сети.

Важно, что крупномасштабная структура и динамика нашей ускоряющейся Вселенной, представленная в виде растущей сети (с причинно-следственно обусловленных множеством «узлов»), асимптотически идентична структуре и динамике многих сложных сетей, таких как нейронные сети головного мозга (Krioukov etal., 2012).

Маршрутизация информации (Papadopoulosetal., 2012) – универсальное явление, существующее в естественных и искусственных сложных сетях. Для того чтобы найти правильный маршрут через сложную сеть, узлы нейросети должны «знать» только свои гиперболические координаты и координаты соседей. Узлы сложной сети находят оптимальный путь, просто ретранслируя информацию своему ближайшему соседу-узлу в нужном направлении. Самый оптимальный путь в сложной сети соответствует гиперболическим геодезическим между источником и пунктом назначения. В частности, предполагается, что некоторые аспекты поиска информации в памяти можно моделировать как поиск-навигацию по узлам – меткам времени гиппокампа с помощью формализма гиперболического пространства – времени (Никонов, 2014).

 В процессе жадной маршрутизации (ЖМ) узел пересылает сообщение-сигнал своим соседям, находящимся ближе всего (на минимальном гиперболическом расстоянии), по назначению, в любой из слоев, включенных в систему. Этот процесс назван взаимной жадной маршрутизацией (вероятно, этому соответствуют межполушарные взаимодействия, в том числе межполушарные интеграции узлов нейронных сетей головного мозга). Обоснование эффекта ВЖМ следует той же линии рассуждений, что и ЖМ в знаменитом эксперименте Стенли Милграма (Travers et al., 1969). Установлено, что ВЖМ в многослойных интернет – сетях (Kleineberg et al., 2016) превосходит по эффективности жадные маршрутизации в сетях «однослойных». Авторы (Kleineberg et al., 2016) использовали синтезированные модели сетей, чтобы показать, что геометрические корреляции улучшают навигацию в многослойных сетях, если это эти корреляции достаточно сильны (есть все основания полагать, что геометрические корреляции между соответствующими областями полушарий головного мозга человека именно таковы). Причем именно степень геометрической корреляции может определять выраженность межполушарной симметрии – асимметрии.

 Реальные сети часто являются взаимодействующими частями более крупных и сложных систем. Примеры могут быть найдены в различных областях, начиная от Интернета до структурных и функциональных сетей мозга. Эти системы не случайные комбинации отдельных слоев в сети: они организованы способами, диктуемыми скрытыми геометрическими соотношениями между отдельными слоями. Эти корреляции сильны в различных реальных многослойных сетях.

         В частности, эти геометрические соотношения способствуют (Kleineberg et al., 2016):

1) определению и выявлению многомерных «сообществ», в которых наборы узлов похожи одновременно в нескольких слоях;

2) точному предсказанию ссылок в транс-слое, где соединения в одном слое могут быть предсказаны путем наблюдения скрытого геометрического пространства другого слоя;

3) эффективной адресной навигации в многослойной системе с использованием только локальных знаний об окрестностях (свойств «тесного мира»), которая превосходит эффективность навигации в отдельных слоях, только если геометрические соотношения являются достаточно сильными.

         Координаты узлов сильно коррелируют в слоях реальных мультиплексов, это означает, что расстояния между узлами в базовых гиперболических пространствах составных сетей также сильно коррелируют. Обнаруженные геометрические корреляции – задают рамки для ответа на важные вопросы, связанные с реальными многослойными сетями. Существуют наборы узлов, которые похожи (их координаты близки в нескольких слоях). Зная, где расположены соединения узлов в одном слое, можно предсказать гиперболические расстояния между узлами в другом слое. Например, если мы знаем только связи между узлами в одном контексте, например, структурные связи между регионами мозга (Simasetal., 2015) и мы хотим предсказать связи между узлами в каком-то другом контексте, например, вероятности функциональных соединений между теми же областях мозга (в том числе  в разных полушариях). Именно для изучения навигации в многослойных системах, расширено понятие ЖМ и введено понятие ВЖД. Сигнал либо достигает своей цели, или он входит в цикл, то есть сообщение возвращается к узлу, который уже был пройден, и тогда доставка сигнала-сообщения неудачна (Kleineberg et al., 2016).

         Модель многослойной сложной сети (Kleineberg et al., 2016) основана на использовании ранее представленной авторами модели «однослойной» сети (Papadopoulos et al., 2012) в виде диска Пуанкаре с полярными координатами (радиальными и угловыми). Показано (Krioukov et al., 2015; Kleineberg et al., 2016), что узлы подобных сетей подчиняются статистике Ферми-Дирака, их свойства зависят от «температуры» модели. Радиальные координаты отражают «популярность» узла модели, причем в случае роста модели от нуля («пустого» диска) прибавлением на каждом шаге по одному узлу «популярность» тем выше, чем меньше возраст узла (чем «старше» узел, тем больше вероятность установления им связей с другими узлами). Угловые «пространственные» координаты отражают «сходство» параметров узлов. В целом, чем меньше гиперболическое расстояние между узлами, тем они более схожи. Таким образом, модель может отражать пространственно-временные свойства узлов нейронных сетей головного мозга. В частности, разработана (Cloughetal.,2016) методика вложения сети со свойствами директивных ацикличеких графов в Лорецово пространство-время, то есть с использованием в модели наряду с пространственными, временной координаты.

            В двухслойной модели (Kleineberg et al., 2016) очень сильные радиальные и угловые корреляции не могут быть оптимальными, потому, что, при низких температурах, когда слои становятся одинаковыми, ВЖМ вырождается в однослойную ЖМ (то есть, в этом контексте, полная идентичность-симметрия свойств узлов двух слоев — полушарий мозга не дает преимуществ в поиске-передаче информации перед «однослойной» системой. Естественно, это не исключает наличия иных преимуществ (например, надежности) двухслойных-многослойных даже абсолютно симметричных слоев. Лучшая взаимная производительность ЖМ достигается при высоких угловых корреляциях, и либо высокими радиальными корреляциями (если температура отдельных слоев высока), или низкими радиальными корреляциями (если температура слоев является низкой). То есть именно определенный уровень «неидентичности» – асимметрии двух слоев – полушарий мозга определяет преимущество ВЖМ.

ГСТМ К.В. Анохина (Анохин, 2014; Анохин, 2015) также хорошо «вписывается» в концепцию наличия «скрытой» гиперболической геометрии растущих сложных сетей головного мозга. Он предполагает, что разум человека – это многоуровневая структура в виде сети сетей нейронов; сознание – это «траффик» в этой структуре. Траффик подразумевает движение информации по путям-траекториям, имеющим определенную метрику. Важно, что эта метрика – метрика гиперболического пространства, и сложные сети когов в модели должны обладать гиперболическими свойствами.

В этом контексте интересна упомянутая выше РТМ М. Николелиса (Cicurel et  al., 2015), где нейронные электромагнитные поля являются субстратом «ментального пространства» с неевклидовой метрикой, которое и порождает нелокальные феномены типа ощущения «я», что соответствует скрытой искривленной геометрии сложных сетей, которые «вложены» в гиперболическое пространство (Kleineberg et al., 2016). Изменению топологии «ментального пространства» в модели может соответствовать изменение структуры и функционирования нейронных сетей.

В работе (Simas, 2015) в обработке экспериментальных данных по изучению головного мозга применен метод «вложения» в метрическое пространство. Данные по человеческому мозгу состоят из структурных (анатомических) данных: «структурной сети» и данных «функциональной сети». В обеих сетях исследованы узлы 90 различных регионов двух полушарий мозга. Структурные свойства сети изучены методом магнитно-резонансной томографии (МРТ). Для каждой пары областей мозга, на основании полученных данных оценена вероятность того, что эти регионы связаны. Вероятность соединения пропорциональна плотности аксонов между соответствующими регионами. Два региона структурной сети считаются связанными, если вероятность их связи больше, чем определенное пороговое значение. Аналогично, функциональная нейронная сеть изучена одой из модификаций метода функциональной МРТ. Таким образом, были получены данные для одних и тех же областей головного мозга. Хотя обеспечить один один-к-одному отображение структурной и функциональной связности не удалось, авторы считают, что их метод может обеспечить новое понимание организации мозга путем сравнения мультимодальных сетей мозга во время разнообразных когнитивных и патологических состояний.

Важно, что сложные сети, многослойные сети, в том числе – гиперсети, которые моделируются, соответственно с помощью графов и гиперграфов (Boccaletti et al., 2014), имеют квантовоподобные свойства (Khrennikov, 2010). В частности, при помощи гиперграфов моделируют многочастичную квантовую запутанность (Lyons, 2015).

Дж. Бьянкони, доказывает (Бьянкони, 2015), что в растущих составных («multiplex» и «super-multiplex networks»), подчиняющихся правилу преимущественного присоединения, безмасштабных сетях симметрии многослойных структур (в том числе – двухслойных сетей) могут быть описаны как сочетание квантовых статистик Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака, чего не бывает в сетях «однослойных». Важно, что каждый слой, как безмасштабная сеть, растущая по механизму преимущественного присоединения (с гиперболическими свойствами) может быть эквивалентен равновесной экспоненциальной модели случайных графов (две сетевые модели эквивалентны, если для любого узла N они генерируют графы c той же вероятностью) (Krioukov et al., 2013; Zuev et al., 2015). В частности, из этого следует, что, формализм растущих по механизму преимущественного присоединения сетей может применяться и к нейронным сетям, находящимся в равновесном состоянии.

Важно, что скорость передачи сигнала от узла к узлу, в рамках модели, определяется не физическим евклидовым расстоянием между ними, но гиперболическим расстоянием в «математическом», «виртуальным» гиперболическом пространстве. Естественно, наличие геометрической корреляции и ВЖМ объясняют только малую часть свойств двух полушарий мозга человека, причем свойств, вероятно общих с «парным» мозгом животных. Можно предположить, что большая скорость передача информации в «парном» мозге из-за ВЖМ дает некоторое эволюционное преимущество по сравнению с «однослойным» непарным мозгом.

Выводы. В статье сделана попытка моделирования взаимоотношений полушарий головного мозга на основе использования геометрических свойств растущих «однослойных», двухслойных и многослойных сетей с четным количеством слоев. Так как нейронные сети головного мозга – частный случай сложных многослойных сетей, предполагается, что они обладают скрытой гиперболической геометрией, свойством «геометрической корреляции». Они «вложены» в соответствующее неевклидово «индивидуальное», «ментальное пространство» мозга, изменение геометрии которого влияет на состояние нейронных сетей. Причем, речь идет о виртуальном, модельном математическом пространстве, гиперболические координаты узлов и  расстояния между ними могут определять вполне реальный процесс маршрутизации – передачи информации по нейронным сетям. В частности, согласно модели, нейронные сети правого и левого полушария головного мозга обладают оптимальным уровнем геометрической корреляции и, соответственно, оптимальным уровнем асимметрии. Поэтому они могут взаимодействовать по механизму «взаимной жадной маршрутизации», что может обеспечивать преимущество «двухслойного» – двухполушарного мозга в передаче информации перед мозгом «однослойным».

 

Список литературы:
 
  1. Анохин К.В. Когнитом: в поисках единой теории для когнитивной науки // Шестая международная конференция по когнитивной науке. Материалы конференции. Калининград. 2014. С. 26 -27.
  2. Анохин К.В. Когнитом – гиперсетевая модель мозга. Сборник научных трудов. «Нейроинформатика – 2015». – М. НИЯУ МИФИ. – 2015. часть 1.
  3. Брагина Н.Н., Доброхотова Т.А. Функциональные асимметрии человека. М.: Медицина.  1988. С. 240 с.
  4. Доброхотова Т.А., Брагина Н.Н. Функциональная асимметрия и психопатология очаговых поражений мозга. – М.: Медицина. – 1977. – С. 357с.
  5. Никонов Ю.В. О моделировании меток времени в контексте межполушарной симметрии // Асимметрия, Том 8, 2014, № 3,С. 37-46.
  6. Никонов Ю.В. О моделировании многослойных нейронных и когнитивных сетей головного мозга в контексте межполушарной асимметрии // Асимметрия, Том 9, 2015, № 2, С. 30-38.
  7. Фокин В.Ф. Динамическая функциональная асимметрия как отражение функциональных состояний // Асимметрия, Том 1, 2007, №1, С. 4-9.
  8. Albert R., DasGupta B., Mobasheri N. Topological implications of negative curvature for biological and social networks // Phys. Rev. E 89. 2014. P. 03281
  9. Bianconi G., Dorogovtsev S., Mendes J. Mutually connected component of
  10. network of networks with replica nodes//Phys. Rev. E. 91. 2015. Р. 012804.
  11. Bianconi G. Supersymmetric multiplex networks described by coupled Bose and Fermi statistics// Phys. Rev. E 91. 2015. Р. 012810.
  12. Bianconi G. Interdisciplinary and physics challenges of Network Theory//EPL 111.  2015. P. 56001.
  13. Boccaletti S., Bianconi G., Criado R., del Genio C. The structure and dynamics of multilayer networks// Reports V. 2014. № 1. Р. 544 p.
  14. Chialvo D. Emergent complexity: what uphill analysis or downhill invention can not do// New Ideas in Psychology. 2008. 26. Р.158 -173.
  15. Cicurel R., Nicolelis M. The Relativistic Brain: How it works and why it cannot be simulated by a Turing machine. Kios Press. Natal. Montreux. Durham. São Paulo. 2015. Р. 106 p.
  16. Clough J., Evans T. Embedding Graphs in Lorentzian Spacetime. 2016. arXiv: 1602.03103.
  17. Gómez-Gardeñes J., De Domenico M., Gutiérrez G. et al. Layer-layer competition in multiplex complex networks// Philosophical Transactions of the Royal Society. 2015. A 373.Р. 20150117.
  18. Khrennikov A. «Ubiquitous Quantum Structure: from Psychology to Finances». Springer. 2010. 210 р.
  19. Kleineberg K., Boguna M., Serrano M. Geometric correlations in real multiplex networks: multidimensional communities, trans-layer link prediction, and efficient navigation. 2016. arXiv:1601.04071.
  20. Krioukov D., Papadopoulos F., Kitsak M. et al.Hyperbolic Geometry of Complex Networcs // Phys. Rev. E 82. 2010. P. 36106.
  21. Krioukov D., Kitsak M., Sinkovits R., Rideout D. et al. Network Cosmology // Nature Scientific Reports. – 2012. – V. 2. P. 793.
  22. Krioukov D., Ostilli М. Duality between equilibrium and growing networks//Phys. Rev. E. 88. 2013. – Р. 022808.
  23. Lyons D., Upchurch D., Walck S., Yetter Ch. Local unitary symmetries of hypergraph states// Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2015. V. 48. № 9. Р. 095301.
  24. Papadopoulos F., Psomas C., Krioukov D. Replaying the Geometric Growth of Complex Networks and Application to the AS Internet. ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review. 2012. V. 40. №.3. Р. 10-106.
  25. Papadopoulos F., Kitsak M., Serrano M., Boguna M. et al. Popularity versus Similarity in Growing Networks// Nature. – 2012. – V. 489. P. 537.
  26. Simas T., Chavez M., Rodriguez P., Diaz-Guilera A. An algebraic topological method for multimodal brain networks comparison // Frontiers in Psychology – 2015. – V. 6. P. 904.
  27. Travers J., Milgram S. Source // An experimental study of the small world problem.–  Sociometry. – 1969. – V. 32. N. 4 . Р. 425-443.
  28. Zuev K., Papadopoulos F., Krioukov D. Hamiltonian Dynamics of Preferential Attachment // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2016. – V. 49. N.10. P. 105001.
Комментарии и пинги к записи запрещены.

Комментарии закрыты.

Дизайн: Polepin